Pages

Wednesday, June 22, 2011

Attack rating II

Ovaj post se nastavlja na prethodni.

Razmatranje nelinearnih modela htjeli ili ne, zahtjeva malo višu matematiku. Pokušati ću ne komplicirati.

Ima jedna igra u kojoj sam vidio na djelu ne linearnu inačicu modela temeljenog na razlici attacka i defensa. Master of Orion II. Inače, obožavam tu igru no neću koristiti ovu priliku da ju hvalisam. Master of Orion II: battle at Antares koristi tzv. logističku sigmoidalnu funkciju [1] za pretvaranje razlike attacka i defensa u vjerojatnost pogotka. Logistička sigmioda ima mnogo lijepih svojstava [2], linearna je oko nule, derivabilna je, ima lijepi integral itd. U Master of Orionu II dobro funkcionira dok je razlika između attacka i defensa manja od 100 no izvan intervala [-100, 100] praktički se događa imunost na kocku. Mislim, u svakom modelu  će se uz dovoljno veliku razliku u attacka i defensa pojaviti imunost na kocku. Ili tako da kocka uopće ne utječe na ishod ili tako da je vjerojatnost jednog ishoda 99.9999% a drugog 0.0001% (tzv. zasićenje). Naime, to je ok kada je razlika attacka i defensa, u kontekstu igre, ogromna. Npr. kada običan miš pokušava ozlijediti ninđu.

Da bi nastavili analizirati nelinearne modele, moramo prvo definirati relevantna svojstva. Naš idealan model trebao bi zadovoljavati slijedeće:
  • Linearnost oko nule. Ako su attack i defense jednaki, vjerojatnost pogotka je 50%. Manja odstupanja od jednakosti linearno povećavaju ili smanjuju vjerojatnost. Npr. 1 poen attacka ili defensa povećava ili smanjuje vjerojatnost za 1%.
  • Asimptote na 0% i 100%. Za veće razlike u korist attack ratinga, vjerojatnost se približava vrijedosti od 100% ali ju nikad ne sustiže (niti ne prelazi). I obratno, za velik defense u odnosu na attack vjerojtanost teži u 0%. Ovo svojstvo povlači zahtjev da nelinearna funkcija mora imati vrijednosti u intervalu [0, 1] (1 = 100%).
  • Opadajuća granična korisnost. Kod većih razlika attacka i defensa, 1 poen gore-dolje manje utječe na vjerojatnost pogotka nego kod manjih razlika.
  • Simetrija s obzorom na (0, 0.5). Drugim riječima ako je attack rating x poena veći od defense ratinga, da je vjerojatnost pogotka jednaka vjerojatnosti promašaja kada bi attack rating bio istih x poena manji od defense ratinga.
Ponašanje granične korisnosti je svojstvo po kojem se dobri modeli razlikuju od loših. Npr. u linearnom modelu događa se da kod malih vjerojatnosti pogotka svaki poen puno znači, recimo da svaki poen mjenja vjerojatnost za 5%. +5% na 5% znači duplo veća vjerojatnost dok +5% na 90% ne čini tako drastičnu razliku. I to smatram lošim. Dobar model bi trebao biti taka da svaki poen ima otprilike jednak utjecaj na vjerojatnost pogotka.

Eksponencijalna funkcija

Ako želimo da svaki poen razlike jednako utječe na vjerojtanost tako da svaki poen razlike povećava ili smanjuje očekivan broj pogodaka  za 1% (npr. ako je vjerojatnost pogotka 30% i napadač si poveća attack rating za 10 poena, da se vjerojatnost pogotka poveća na 33%), tada je traženi model u obliku eksponencijalne funkcije. Osobi pokušaj konstrukcije takve funkcije doveli su me do formule slijedeće formule:

Gdje je baza potencije (parametar a) utječe na strminu funkcije, odnosno na to koliko svaki poen utječe na vjerojatnost. Ako želimo da bude točno 1 poen -> 1% tada baza treba biti . Ako je nekome to preekzotičan broj, može slobodno uzeti a = 0.98 što je otprilike tu negdje. Funkcija je podijeljena na dva segmenta kako bi se postigla simetričnost.

Na slijedećoj slici prikazane su logistička sigmoidalna funkcija (zlatna linija), prilagođena eksponencijalna funkcija (plava linija), linearna funkcija (crvena) i još jedna sigmiodalna funkcija (ljubičasta linija). Funkcije su podešene tako da nagib u nuli iznosi 0.01 (za pomak na x osi za jednu jedinicu, funkcija raste ili pada za 0.01 jedinicu na y osi).


Iz grafa se može vidjeti kako linearna finkcija izvan intervala [-50, 50] više ne može poslužiti kao funkcija vjerojatnosti (jer joj vrijednost izlazi iz intervala [0, 1]). Logistička sigmoida nema takvo ograničenje ali njena praktična primjena prestaje izvan intervala [-100, 100]. Modificirana eksponencijala ni se nekako čini najbolji izbor, interval na kojem je primjenjiva je otprilike [-150, 150], možda čak i na [-200, 200] i trend promjene je upravo takav da svaki poen ima svoj značaj. No da li bi to bio dobar izbor, jednostavno treba isprobati.

No comments:

Post a Comment