Attack rating II

Ovaj post se nastavlja na prethodni.

Razmatranje nelinearnih modela htjeli ili ne, zahtjeva malo višu matematiku. Pokušati ću ne komplicirati.

Ima jedna igra u kojoj sam vidio na djelu ne linearnu inačicu modela temeljenog na razlici attacka i defensa. Master of Orion II. Inače, obožavam tu igru no neću koristiti ovu priliku da ju hvalisam. Master of Orion II: battle at Antares koristi tzv. logističku sigmoidalnu funkciju [1] za pretvaranje razlike attacka i defensa u vjerojatnost pogotka. Logistička sigmioda ima mnogo lijepih svojstava [2], linearna je oko nule, derivabilna je, ima lijepi integral itd. U Master of Orionu II dobro funkcionira dok je razlika između attacka i defensa manja od 100 no izvan intervala [-100, 100] praktički se događa imunost na kocku. Mislim, u svakom modelu  će se uz dovoljno veliku razliku u attacka i defensa pojaviti imunost na kocku. Ili tako da kocka uopće ne utječe na ishod ili tako da je vjerojatnost jednog ishoda 99.9999% a drugog 0.0001% (tzv. zasićenje). Naime, to je ok kada je razlika attacka i defensa, u kontekstu igre, ogromna. Npr. kada običan miš pokušava ozlijediti ninđu.

Da bi nastavili analizirati nelinearne modele, moramo prvo definirati relevantna svojstva. Naš idealan model trebao bi zadovoljavati slijedeće:

• Linearnost oko nule. Ako su attack i defense jednaki, vjerojatnost pogotka je 50%. Manja odstupanja od jednakosti linearno povećavaju ili smanjuju vjerojatnost. Npr. 1 poen attacka ili defensa povećava ili smanjuje vjerojatnost za 1%.
• Asimptote na 0% i 100%. Za veće razlike u korist attack ratinga, vjerojatnost se približava vrijedosti od 100% ali ju nikad ne sustiže (niti ne prelazi). I obratno, za velik defense u odnosu na attack vjerojtanost teži u 0%. Ovo svojstvo povlači zahtjev da nelinearna funkcija mora imati vrijednosti u intervalu [0, 1] (1 = 100%).
• Opadajuća granična korisnost. Kod većih razlika attacka i defensa, 1 poen gore-dolje manje utječe na vjerojatnost pogotka nego kod manjih razlika.
• Simetrija s obzorom na (0, 0.5). Drugim riječima ako je attack rating x poena veći od defense ratinga, da je vjerojatnost pogotka jednaka vjerojatnosti promašaja kada bi attack rating bio istih x poena manji od defense ratinga.

Ponašanje granične korisnosti je svojstvo po kojem se dobri modeli razlikuju od loših. Npr. u linearnom modelu događa se da kod malih vjerojatnosti pogotka svaki poen puno znači, recimo da svaki poen mjenja vjerojatnost za 5%. +5% na 5% znači duplo veća vjerojatnost dok +5% na 90% ne čini tako drastičnu razliku. I to smatram lošim. Dobar model bi trebao biti taka da svaki poen ima otprilike jednak utjecaj na vjerojatnost pogotka.

Eksponencijalna funkcija

Ako želimo da svaki poen razlike jednako utječe na vjerojtanost tako da svaki poen razlike povećava ili smanjuje očekivan broj pogodaka  za 1% (npr. ako je vjerojatnost pogotka 30% i napadač si poveća attack rating za 10 poena, da se vjerojatnost pogotka poveća na 33%), tada je traženi model u obliku eksponencijalne funkcije. Osobi pokušaj konstrukcije takve funkcije doveli su me do formule slijedeće formule:

Gdje je baza potencije (parametar a) utječe na strminu funkcije, odnosno na to koliko svaki poen utječe na vjerojatnost. Ako želimo da bude točno 1 poen -> 1% tada baza treba biti . Ako je nekome to preekzotičan broj, može slobodno uzeti a = 0.98 što je otprilike tu negdje. Funkcija je podijeljena na dva segmenta kako bi se postigla simetričnost.

Na slijedećoj slici prikazane su logistička sigmoidalna funkcija (zlatna linija), prilagođena eksponencijalna funkcija (plava linija), linearna funkcija (crvena) i još jedna sigmiodalna funkcija (ljubičasta linija). Funkcije su podešene tako da nagib u nuli iznosi 0.01 (za pomak na x osi za jednu jedinicu, funkcija raste ili pada za 0.01 jedinicu na y osi).

Iz grafa se može vidjeti kako linearna finkcija izvan intervala [-50, 50] više ne može poslužiti kao funkcija vjerojatnosti (jer joj vrijednost izlazi iz intervala [0, 1]). Logistička sigmoida nema takvo ograničenje ali njena praktična primjena prestaje izvan intervala [-100, 100]. Modificirana eksponencijala ni se nekako čini najbolji izbor, interval na kojem je primjenjiva je otprilike [-150, 150], možda čak i na [-200, 200] i trend promjene je upravo takav da svaki poen ima svoj značaj. No da li bi to bio dobar izbor, jednostavno treba isprobati.

Attack rating

Mnoge igre, posebice RPG-ovi uključuju "bacenje kocke" u procesima odlučivanja. I većina igara radi to ofrlje, izabirući jednostavan model. Na primjer, u Diablu 2 vjerojatnost zadavanja štete računa se po formuli ovoj formuli:

gdje je a "attack rating" napadaća i d "defense rating" mete. To je zapravo jednostavan omjer, napadač ima a naprama d šansi za pogodak. Taj pristup smatram lošim jer dovodi do toga da kako igrač napreduje, attack i defense rating moraju rasti eksponencijalno. Recimo da na početku igrač ima attack rating 10 i da neprijatelji imaju defense rating isto 10. To daje vjerojatnost pogotka od 50%. Da bi igrač podigao vjerojatnost pogotka n 75%, mora si utrostručiti attack rating (znači na 30). Da bi neprijatelji bili izazov, moraju do neke mjere pratiti igračev razvoj tako da će se u jednom trenutku dogoditi da igrač ima attack rating 30 i neprijatelji defense rating 30. I opet igrač mora utrostručiti svoje brojeve da bi dobio prednost i tako u nedogled. Brojevi počnu divljati, sustav postane noćna mora za balansiranje i u najgorem slučaju dio igre ovisan o tom modelu odlučivanja kockom prestane funkcionirati. Osobno tu pojavu nazivam "eksponencijalnom zamkom".

Primjer drugi, D&D. U D&D-u (mislim da od 2nd editiona na dalje) odlučivanje o pogotku se vrši tako da se na napadačev attack rating doda iznos s kocke i ta suma usporedi s defense ratingom mete. Ako je defense rating manji od te sume, napadač je pogodio. Ovakav pristup nema problema s eksponencijalnim rastom brojeva i čini mi se dosta lakši za balansiranje. No pati od problema kojeg osobno nazivam "imunost na kocku". Ako je napadačev attack rating bez kocke veći od metinog defense ratinga, napadač će uvjek pogoditi. S druge strane, ako meta ima veći defense rating od sume napadačeva attack ratinga i maksimalnog iznosa kocke, tada napadać neće nikad pogoditi. Taj se problem može izbjeći pravilima da napadać ima barem x% šansi da pogodi (npr. ako dobije 20 na d20 "kocki") i barem y% šansi da promaši (ako dobije 1 na d20). No osobno, kada bi radio RPG pokušavao bi izbjeći takvim iznimkama.

Varijacija na temu je model koji se koristi u iPhone igri Uniwar [1]. Ako napadač ima attack rating jednak defense ratingu mete, šanse za pogodak su mu 50%, za svaki poen razlike, šansa se povećava ili smanjuje za 5%. Praktički isto kao i u D&D-u samo je uklonjena potreba da defense rating u startu bude 10. I u Uniwaru to savršeno funkcionira iz prostog razloga što je igra strategija a ne RPG. Attack i defense rating jedinica se ne mjenja u tolikoj mjeri kao u RPG-ovima i balansom je postigunto da ne dolazi do problema imunosti na kocku.

Dosta sam si razmišljao kakav model odabrati u igrama koje trenutno postoje samo u mojoj glavi. Trenutno mi se model temeljen na razlici, kao u D&D-u i Uniwaru, čini kao way to go. No ono što mi se ne sviđa je spomenuti problem imunosti na kocku. Ako se malo bolje pogleda, taj problem prizlazi iz toga što se vjerojatnost linearno mjenja s razlikom attacka i defensa, bez obzira da li je ta razlika 0, 10, 100 ili - 500. Znači, u model treba dodati nelinearnost. Malo sam se igrao s brojkam i formulama, no rezultate ću iznijeti u sljedećem postu.

Otvorih blog

Odlučih nakon skoro godinu dana da ipak nastavim s pisanjem blogova. Pa odlučih to raditi na "google compatible" blog sajtu. Stari blog sam vodio na http://pljs.blog.hr/ ako koga slučajno bude zanimalo.

Kad ulovim vremena, pisati ću o svojim projektima i o ponekim idejama iz sfere programiranja i stuff like that.